UNIVERSIDAD DEL VALLE DE GUATEMALA Facultad de Ingeniería Departamento de Ciencia de la Computación Curso: CC-3039 Modelación y Simulación Semestre: 2 de 2012 Catedrático: Luis R. Furlán Hoja de Trabajo 7 – El “rastreo” del plomo a través del cuerpo humano El plomo ha tenido muchos usos desde épocas remotas. Entre sus usos en el pasado y en el presente están, la cerámica “vitreada”, tubería para transportar agua, la pintura, las balas, blindaje para cables de telefonía y televisión, y acumuladores para vehículos. El plomo ha tenido muchas aplicaciones debido a su resistencia a la corrosión, su alta densidad, su maleabilidad, su habilidad para escudar contra rayos-X y rayos-gama, y su punto de derretimiento bajo. Eventualmente, sin embargo, hubieron algunas observaciones sobre afecciones “raras” en las personas que habían tenido contacto con el plomo u objetos fabricados con el mismo. A principios de los 1900s, la Dra. Alice Hamilton estudió el envenenamiento de plomo y encontró 77 diferentes profesiones en las que el plomo representaba un peligro ocupacional serio. Los niños, especialmente aquellos que vivían en vecindades urbanas pobres, presentaban síntomas de envenenamiento por plomo. Se determinó que en estas vecindades la pintura que mayormente se utilizaba (casas construidas antes del 1950), contenía astillas y polvo de plomo. También que los automóviles que usaban gasolina con alto contenido de plomo, emitían vapores que eran entre las fuentes principales de veneno para los niños. El plomo se absorbe lentamente en el cuerpo, pero la tasa de eliminación es aún más lento. El plomo es altamente tóxico para el sistema humano, especialmente si se come o inhala. Viaja hacia el sistema sanguíneo y eventualmente se concentra en tejidos suaves (especialmente el hígado y los riñones), y en los huesos. Con una exposición constante, los niveles de concentración pueden alcanzar niveles tóxicos. Con el paso de los años, las autoridades incluyendo al Centro de Control de Enfermedades (CDC) de los Estados Unidos, continúan reduciendo los niveles de plomo ambiental que se pueden considerar seguros.1 En este ejercicio, desarrollarán un modelo de la transferencia del plomo a través del cuerpo humano. Al hacerlo, necesariamente habrá que hacer una serie de simplificaciones. De nuevo, este siempre es el caso cuando se crean modelos matemáticos. Sin embargo deberán incluir suficientes de los componentes reales para permitir un entendimiento de algunas de las dinámicas de la acumulación del plomo a través del tiempo. Desde el ambiente, el plomo ingresa y se acumula en diferentes partes del cuerpo. Su modelo debe enfocarse en la acumulación del plomo en el sistema sanguíneo, los tejidos blandos, y en los huesos. Una de las simplificaciones que deben hacer es: • La cantidad P, que representa la tasa de ingestión de plomo en el torrente sanguíneo y se asumirá que es de 49.3 microgramos por día Usualmente, el plomo del ambiente penetra el cuerpo humano viajando primero al sistema sanguíneo, 1 Grolier´s Encyclopedia, 1995 así que eso es lo que asumiremos para este modelo. La sangre transfiere el plomo desde y hacia, los tejidos blandos. Estos tejidos blandos también pueden excretar el plomo por medio del pelo, las uñas y el sudor. La sangra transfiere el plomo desde, y hacia, los huesos. No hay eliminación de plomo desde los huesos, exceptuando para transferir el mismo de vuelta a la sangre. La sangre puede eliminar el plomo del cuerpo, a través de los riñones. Tres investigadores científicos hicieron un estudio de la ingesta de plomo y de la eliminación usando a un voluntario que vivía en California del Sur.2 Encontraron que en este individuo la transferencia de plomo de la sangre a los tejidos blandos era el 0.0111 de la cantidad de plomo en el cuerpo, por día. La tasa de transferencia de vuelta, del tejido blando a la sangre, era de 0.0162 del plomo en el tejido blando, por día. La tasa de transferencia del plomo de la sangre al hueso fue de 0.0039 por día. La tasa de transferencia de vuelta, del hueso a la sangre era de 0.000035 por día. Finalmente, la tasa de eliminación del plomo, a través de la orina, era de 0.0211 de la cantidad de plomo en la sangre, por día. Asuman que los valores iniciales de cada repositorio son 0 para t = 0. Preguntas a responder 1. Determinen cuándo cada cantidad llega al estado estable (si es que lo hace). Cómo decidieron qué es lo que constituye el estado estable? 2. Escriban las tres ecuaciones diferenciales incluyendo los coeficientes numéricos. A partir de estas ecuaciones diferenciales determinen, con un cálculo a mano, cuáles son las concentraciones en estado estable (si es que las hay) de cada una de las variables de interés. 3. Desarrollen un análisis de sensibilidad de la cantidad de plomo ingestada comparada a la cantidad, en estado estable, de la sangre. 4. La persona decide trasladarse de California del Sur hacia San Andrés Semetabaj, Sololá. Asuman que en San Andrés no hay contaminación de plomo en el ambiente. También asuman que el traslado se realiza en el día 300 de la simulación. Cuánto tiempo transcurre para que el nivel de plomo en la sangre regrese al 50% del nivel que tenía en el día 300? Al 25%? Al 10%? 5. Es posible administrar una nueva droga que acelera el proceso de eliminación de la sangre (únicamente). Acelera la eliminación en un 50% sobre el proceso normal de eliminación. La droga se administra directamente en el torrente sanguíneo en el día 300 de la simulación. Esta vez asuma que la persona no se vino a San Andrés Semetabaj sino que se quedó en California del Sur. Cuál es la diferencia con el problema anterior? 6. Determine las tres nuevas ecuaciones diferenciales que representan incorporar este cambio. (Asuman, para esta pregunta que la droga se suministró desde el inicio de la simulación). Resuelvan las ecuaciones para determinar los niveles de equilibrio para los tres repositorios de interés. 2 Su trabajo fue reportado en Science 182 (1973) p 725-727.